DIE ANDERE DIFFERENZ – TEIL2 – THEORETISCHE MODELLE

(1) Die Charakterisierung von ‚Leben‘ über das Konzept der ‚Differenz‘ (siehe vorausgehende Blogeinträge) kann mit unterschiedlichen theoretischen Konzepten formuliert werden. Wichtig dabei ist, dass man nicht die konkreten ‚Bestandteile‘ eines biologischen Organismus betrachtet, sondern die ‚Funktion(en)‘, die durch diese verfügbar werden. So kann man z.B. die grobe Unterteilung machen in ‚Versorgungsstrukturen‘ (Energie, Bewegung, Fortpflanzung,…) und ‚Informationsstrukturen‘. Letztere unterteilt nach ‚Strukturinformationen‘ und ‚Arbeitsinformationen‘.

 

(2) DNA-Moleküle (und zusätzliche Moleküle) realisieren Informationen über potentielle Körperstrukturen und jenen Wachstumsprozessen, die zu deren Aufbau führen; sie gelten damit als ‚Strukturinformationen‘. Die Nervensysteme (Gehirne), die sich mittels Strukturinformationen ausbilden können, besitzen als Eigenschaft eine spezifische ‚Lernfähigkeit‘, die es ermöglicht, dass aktuelle Ereignisse im und außerhalb des Körpers registriert und verarbeitet werden können. Diese Art von Informationen gehört zur ‚Arbeitsinformation‘.

 

(3) Von einem gewissen Abstraktionspunkt aus betrachtet könnte man sagen, dass der ‚Zweck‘ von biologischen System letztlich die Bereitstellung von solchen Strukturen ist, die fähig sind, Arbeitsinformationen zu realisieren. Alle anderen Strukturen haben einen ‚Supportcharakter‘: damit Arbeitsinformationen realisiert werden können, muss beständig hinreichend viel Energie herbeigeschafft werden; damit hinreichende Bewegungen im Raum möglich sind, müssen entsprechende Raumstrukturen durch Knochen, Sehnen und Muskeln bereitgestellt werden; damit der gesamte Prozess erhalten bleibt, müssen alle notwendigen Strukturinformationen hinreichend gut kopiert und partiell modifiziert (Mutation) werden können.

 

 

(4) Im folgenden soll daher das Konzept der ‚biologischen Differenz‘ vor allem am Beispiel solcher Strukturen erklärt werden, die dazu dienen, Arbeitsinformationen zu realisieren; alle anderen bleiben hier momentan außer Betracht.

 Kopplung von Differenzsystemen

 Bild 1: Kooperierende Differenzsysteme

 

(5) In der Literatur gibt es mehr als tausend Publikationen zu sogenannten künstlichen Neuronen, mittels deren man das Verhalten von biologischen Neuronen (Nervenzellen) modellieren kann. In diesem Kontext soll – soweit dies bei all dem Hintergrundwissen heute noch möglich ist – weitgehend von diesen bekannten Modellen abgesehen werden und ausgehend von dem Differenzgedanken die Frage nach einer minimalen Modellierung nochmals gestellt werden.

 

(6) Wie die Handskizze in Bild 1 andeutet, reichen als Annahmen die Folgenden: (i) wesentlich muss ein Differenzsystem zwischen mindestens zwei Zuständen {‚1‘, ‚0‘} wechseln können, wobei einer dieser Zustände, der ’sensitive‘ oder ‚kritische‘, durch Zuführung von Energie E künstlich erzeugt wird (hier angenommen als Zustand ‚1‘). (ii) Spezifische Umweltereignisse können ein spezifisches Eingangsereignis σ (Klein-Sigma) erzeugen, bei dessen Auftreten das Differenzsystem vom kritischen Zustand ‚1‘ in den unkritischen Zustand ‚0‘ übergeht. (iii) Beim Verlassen des kritischen Zustands wird ein spezifisches Ausgangsereignis ξ (Klein-Xi) erzeugt, das in die Umgebung des Differenzsystems hineinwirken kann. (iv) Sofern genügend Energie vorhanden ist, kann das Differenzsystem DS durch Zuführung von Energie wieder in den kritischen Zustand ‚1‘ zurückkehren. Damit wären die minimalen Bestandteile eines biologischen Differenzsystems für Arbeitsinformationen beschrieben. Für theoretische Zwecke könnte man auf weite Strecken auch auf den Faktor Energieversorgung E verzichten. Andererseits kann der Faktor Energie E ein Parameter sein, der helfen kann, die ‚Kosten‘ eines Differenzsystems, vor allem wenn es viele sind, die im Verbund arbeiten, abzuschätzen (Biologische Differenzsysteme in realen Systemen haben noch weit mehr Elemente, diese gehören aber zur ‚Versorgungsstruktur‘, die wir hier ausklammern). Als Besonderheit von biologischen Differenzsystemen sollte man noch erwähnen, dass es im Bereich der Eingangsereignisse σ neben den ’normalen‘ Ereignissen σ+ auch solche Eingangsereignisse σ- gibt, die den gesamten Eingang neutralisieren können, d.h. Liegt ein negatives ‚hemmendes‘ Eingangsereignis vor, dann sind alle anderen positiven ‚aktivierenden‘ Eingangsereignisse wirkungslos.

 

 

 

 Hemmende Ereignisse

 Bild 2: Blockierende (hemmende) Eingangsereignisse

 

(7) Biologische Differenzsysteme kann man dann beliebig ‚kombinieren‘, entweder entlang von Außenweltmembranen, um Umweltereignisse ‚außerhalb‘ des Systems ins ‚Innere‘ des Systems zu transformieren, oder um Outputereignisse an andere Differenzsysteme weiter zu reichen. Für diese nachfolgenden Differenzsysteme sind die Outputs des einen Systems dann Inputs. Statt explizit die Differenzustände {‚1‘, ‚0‘} anzuführen, könnte man auch allgemein eine Differenzfunktion δ: σ x κ → κ‘ x ξ hinschreiben, also wenn ein Inputereignis σ auftritt und ein kritischer Zustand κ (Klein-Kappa) liegt vor, dann geht das System, in den unkritischen Zustand κ‘ über und erzeugt gleichzeitig ein Outputereignis ξ. Ein Differenzsystem wäre dann eine Struktur wie folgt < σ, κ, κ‘, ξ, δ> (ohne Energiekomponente) oder < σ, κ, κ‘, ξ, δ, E,EO> mit ι: EO —> E; ι (Klein-Iota) ist die Energiefunktion, die aus einem Energieeingangspuffer Energie in den Systemenergiepuffer E überführt.

 

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 Bild 3: 5 Differenzsysteme {1,…,5}

(8) Eine Komposition von Differenzsystemen wäre dann eine Menge von Differenzsystemen N mit der Angabe ihrer Verbindungen Δ (Gross-Delta), also <N, Δ>. Ein einfaches Beispiel zeigt die Handskizze Nr.3: 5 Elemente sind angeordnet, und die Beschreibung der Anordnung erfolgt über eine Menge von geordneten Paaren, also z.B. der Ausgang von Element N1 geht auf den Eingang von Element N2 wird geschrieben ‚(1,2)‘, usw. Die Menge aller dieser Verbindungspaare wird geschrieben als Δ = {(1,2), (2,3), …}. Die Menge der Verbindungen Δ bildet also eine Struktur. Die Struktur gehört zur ‚Strukturinformation‘; die Informationen, die innerhalb solcher Strukturen ‚laufen‘ können, bilden die ‚Arbeitsinformation‘.

 

(9) Wie die Handskizze auch andeutet, arbeiten alle Elemente eines realen biologischen Differenzsystems ’simultan‘ oder ‚parallel‘. Wie verhält sich dies zum bekannten Konzept des ‚Automaten‘, wie ihn die Informatik als Grundbegriff für alle Phänomene der Berechenbarkeit benutzt? Nach der These von Church (1936) lassen sich ja alle berechenbare Prozesse zurückführen auf allgemein rekursive Prozesse, insbesondere dann auch auf die Turingmaschine. Es wäre eine interessante Frage, ob man das bislang skizzierte Differenzensystem mit einer Turingmaschine gleichsetzen könnte. Der Grundtyp eines Automaten arbeitet nicht parallel, sondern ’sequentiell‘.

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 Bild 4: Automat als Grundbegriff

 

(10) Die Grundelemente eines Automaten, die sich letztlich von dem Konzept der Turingmaschine her ableiten, das Turing 1936/7 eingeführt hatte, bestehen auch aus Input- und Output-Ereignissen, die von einem sogenannten ‚Schreib-Lese-Band‘ stammen. Während ein Differenzsystem grundsätzlich nur einen Zustand umfasst kann ein Automat endlich viele (n) Zustände Q umfassen. Sobald es mehr als ein Zustand ist (n > 0) bilden die verschiedenen Zustände auch eine Struktur Δ ähnlich wie Differenzstrukturen, die man miteinander kombiniert. Die Struktur entsteht hier aber nicht durch fest Verbindungen zwischen Elementen, sondern durch logische ‚Übergänge‘ zwischen Zuständen; diese sind in der Regel abhängig vom jeweiligen Inputereignis σ. Vereinfachend kann man die Struktur Δ eines Automaten dann auch auffassen als eine Menge von Paaren der Art Δ = {(q1, q2), (q2, q3), …} mit ‚q_i‘ als einen der möglichen Zustände.

 

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 Bild 5: Zerlegung einer Verbundsystems in individuelle Einheiten

 

(11) Wie steht es nun mit der sequentiellen Abarbeitung eines parallel arbeitenden Verbundes von Differenzsystemen? Generell kann man sich klar machen, dass bei einer idealen simultanen Verarbeitung diejenigen Inputereignisse σ benutzt, werden die zum Zeitpunkt t verfügbar sind (die Menge aller dieser Inputereingisse bilden den ‚Definitionsbereich‘ oder das ‚Urbild‘ der Berechnungen). Angenommen alle Differenzsysteme arbeiten gleich schnell und benötigen die Zeit (t,t‘) mit t‘ > t, dann erzeugen alle Differenzsysteme zum Zeitpunkt t‘ ein neues Ausgangsereignis ξ (Die Menge all dieser Ausgangsereignisse bilden den ‚Wertebereich‘ aller Berechnungen bzw. das ‚Bild‘). Man kann sich also abstrakt eine ‚Zerlegung‘ (Partitionierung) eines Verbundes von Differenzsystemen vorstellen, die jeweils ein Differenzsystem mit seinen speziellen Eingangs- und Ausgangsereignissen betrachtet. Wenn man jetzt jedes Differenzsystem rechnen läßt – die Reihenfolge ist irrelevant –, dann erhält man nach (t,t‘) für jedes System sein Ergebnis. Ersetzt man im Urbild alle Werte durch die neuen Bild-Werte, erhält man den Nachfolgezustand des Systems. Da es auf die Reihenfolge dieser Rechnung nicht ankommt, könnte man sie auch alle ‚hintereinander‘ (sequentiell) ausführen; dies würde am Ergebnis logisch nichts ändern. Würde die reale Zeit der Abarbeitung von Bedeutung sein, dann müsste man sicherstellen, dass bei einer angenommen Taktrate von T = t‘ – t die Einzelberechnungen mit der Geschwindigkeit T/n (n := Anzahl der beteiligten Elemente) durchgeführt würde. Für eine logische Äquivalenz ist die reale Zeit allerdings irrelevant.

 

 

(12) Die vorausgehende Überlegung deutet an, dass es prinzipiell eine Übersetzung der Parallelität in die Sequentialität geben kann. Reicht dies aus für eine Simulation durch eine Turingmaschine TM? Turing selbst hat gezeigt, wie man hier vorgehen kann. Man geht davon aus, dass man die Beschreibung eines Differenzsystem-Verbundes DS = <N, Δ> auf das Schreibleseband schreibt und in jedem Zeitpunkt auch alle Eingangsereignisse, denen dieser Verbund ausgesetzt sein soll. Dann simuliert die TM das Verhalten von DS indem – entsprechend der zuvor skizzierten Idee einer Zerlegung – die Werte für jedes Element individuell berechnet werden und dann die neuen Werte auf das Band als neue Eingangswerte eingetragen werden. Es gibt kein Argument, dass eine TM genau diese Berechnung nicht durchführen kann. Damit ist aber klar, dass eine sequentiell arbeitende Turingmaschine jeden Verbund von Differenzsystemen simulieren kann.

 

(13) Man kann auch leicht nachvollziehen, dass eine ‚genetische Beschreibung‘ eines Differenzsystem-Verbundes DS letztlich – wie immer die Kodierung auch vorgenommen wird – genau eine Struktur DS = <N, Δ> repräsentiert. Eine geeignete Kopier- und Mutationsfunktion (z.B. im Stile eines genetischen Algorithmus GA) könnte dann aus bestehenden Strukturen neue Strukturen generieren, die dann zum Ausgangspunkt neuer Simulationen werden.

 

(14) Eine andere Variante sind zelluläre Automaten. Ein zellulärer Automat (cellular automaton, CA) bezieht sich auf einen Bereich (analog dem Band eines Automaten), der im Prinzip n-dimensional sein kann. Die Funktion der Differenzsysteme haben hier Übergangsregeln der Art m —> m‘, d.h. bei Vorliegen eines bestimmten Musters m im Bereich wird dieses ersetzt durch ein Muster m‘. In der Regel ist die Menge der Regeln Δ_ca größer als 1, also |Δ_ca| > 1. Alle Regeln sind gleichberechtigt, d.h. Sie werden simultan (parallel) abgearbeitet (Beispiele finden sich z.B. in dem Artikel von Gardner über Conways ‚Game of Life‘ oder im Buch von Wolfram). Ein zellulärer Automat CA besteht also aus einem Bereich W und einer Menge von Umformungsregeln Δ_ca, also CA = <W, Δ_ca>. Für jedes Element w in W werden die passenden Regeln δ aus Δ_ca angewendet, man erhält eine Folgezustand W‘. Um einen zellulären Automaten durch eine Turingmaschine zu simulieren zerlegt man den Bereich W in geeignete Teilbereiche, berechnet für jeden Teilbereich die neuen Werte w und dann setzt man den Nachfolgebereich W‘ daraus zusammen. Dieses Verfahren setzt voraus, dass die Zielbereiche in jeder Zerlegung disjunkt (voneinander unabhängig) sind. Daraus folgt, dass ein zellulärer Automat nicht mächtiger ist als eine Turingmaschine (Anmk: Man kann einen zellulären Automaten auch mittels einer kontextsensitiven Grammatik beschreiben).

 

(15) Die Beziehung zwischen einem Verbund von Differenzsystemen DS und einem zellulären Automaten kann man sich dadurch klar machen, dass man (siehe Bild 5) sich den Bereich W des CA vorstellt als eingeteilt in feste disjunkte Unterbereiche W_1, W_2 usw., denen bestimmte Umformungsregel ebenfalls fest zugeordnet sind. D.h. Ein Verbundsystem von Differenzsystemen ist eine eingeschränkte Version eines zellulären Automaten.

 

(16) Was man aus diesen Überlegungen entnehmen kann ist die Einsicht, dass biologische Differenzsysteme, sofern sie genau die Eigenschaften besitzen, die hier unterstellt wurden, sich mit den Mitteln von Automaten (maximal einer Turingmaschine) simulieren lassen. Dies wiederum bedeutet, dass man im Rahmen der Forschung (einschließlich philosophierender Wissenschaft) einen Simulationsansatz ohne Einschränkung der Allgemeinheit benutzen kann.

(17) Letzte Bemerkung: Statt mit Automaten könnte man auch mit Classifier-Systemen arbeiten (Details dazu in meinem <a href=“http://www.uffmm.org/science-technology/single/themes/computer-science/personal-sites/doeben-henisch/KNOW/gbblt/index.html“> GBBCLT-Skript</a>).

 

LITERATURVERWEISE

 

Church, A.; „An Unsolvable Problem of Elementary Number Theory“, Amer.J.Math. 58 (1936) 345-363

 

Gardner, M. „MATHEMATICAL GAMES. The fantastic combinations of John Conway’s new solitaire game ‚life’“, Scientific American 223 (October 1970): 120-123.

 

Turing, A. M. „On Computable Numbers with an Application to the Entscheidungsproblem“, In: Proc. London Math. Soc., Ser.2, vol.42(1936), pp.230-265; received May 25, 1936; Appendix added August 28; read November 12, 1936; corr. Ibid. vol.43(1937), pp.544-546. Turing’s paper appeared in Part 2 of vol.42 which was issued in December 1936 (Reprint in M.DAVIS 1965, pp.116-151; corr. ibid. pp.151-154).

 

Wolfram, S., „A New Kind of Science“, Champaigne (IL, USA): Wolfram Media, Inc., 2002

 

 

Einen Überblick über alle bisherigen Blockeinträge findet sich hier

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